Calcul du volume d’un cube

Le volume du cube

Le volume d’un cube se rapproche sensiblement, dans sa définition, de l’aire d’un carré. En effet, l’on pourrait résumer vulgairement les choses en disant que le cube est un carré en trois dimensions. Sans être faux, ce raccourci n’est pas totalement exact non plus. Pourtant, si l’on veut se résumer à cela, l’on peut se conforter avec le calcul du volume du cube et le calcul de l’aire du carré qui répondent quasiment au même calcul. En effet, rappelez vous vos cours de géométrie au collège pour faire remonter à la surface le fameux : aire du carré = côté². Alors que si l’on veut calculer le volume d’un cube, ce qui est un problème d’un niveau un peu supérieur, l’on peut ramener le problème à cette formule : volume du cube = arête³.

Posons le problème de façon plus pratique en appliquant la formule sur un cube dont la longueur de l’arête est 5 cm :

• volume du cube = arête³
• V = 5³
• V = 5 x 5 x 5
• V = 125 cm³

Notre cube à l’arête de 5 cm possède un volume de 125 cm³.

Cube et carré

Ce qui est intéressant lorsque l’on compare ces deux formules c’est de noter l’analogie avec le nombre de dimensions de la forme. En effet, l’œil humain voit en trois dimensions, et le monde qui nous entoure est aussi en trois dimensions. Toutefois, certains éléments de notre environnement sont en deux dimensions. Par exemple le carré est une forme en deux dimensions : elle est formée de sa hauteur et de sa largeur. Pour être en trois dimensions, il lui manque la profondeur. Et c’est justement cette profondeur dont est doté le cube. Lui se trouve être en trois dimensions : largeur + hauteur + profondeur.

Bien, maintenant que nous avons analysé la perspective de ces deux figures, voyons la corrélation avec la teneur des formules. L’aire du carré s’obtient en mettant au carré la longueur de son côté. Le carré se définit comme le nombre multiplié par lui-même. Il se présente sous la forme n². L’exposant est 2, tout comme le nombre de dimensions de la forme (largeur + hauteur).

Quant au cube, le calcul de son volume est la longueur de l’arête au cube. Au cube signifie que le nombre est multiplié deux fois par lui-même, et se présente sous la forme n³. Là, l’on note que l’exposant est trois, tout comme nombre le nombre de dimensions de la forme (largeur + hauteur + profondeur).

Le cube peut aussi être décomposé par 6 carrés absolument identiques, qui constituent ces 6 faces. La longueur des côtés de ces carrés est absolument égale à la longueur de l’arête du cube.

Volume et aire, concordances ?

Bien, procédons à une autre analogie avec mise en pratique cette fois ci. Nous avons vu les concordances entre les calculs de l’aire du carré et du volume du cube, et aussi de l’interaction du nombre de dimensions dans laquelle évolue la forme. Toujours à avec notre cube à l’arête de 5 cm pour lequel nous avons déterminé un volume de 125 cm³. Si nous nous amusons à décomposer l’aire de tous les carrés qui le composent, il faut ajouter les résultats des 6 faces. Pour un carré, l’aire, considérant que l’arête est de la longueur exacte du côté, nous avons :

• aire du carré = côté²
• A = 5²
• A = 25 cm²

Cette aire est cinq fois moins grande que la valeur du volume du cube.

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• La formule de volume d’un cube
• Le calcul de volume d’une piscine
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